Buenas, tengo una duda.

Como se hace para resolver los sistemas de ecuaciones lineales "no cuadrados"?
Con no cuadrados me refiero a que la cantidad no es una matriz de NxN (es decir la cantidad de incognitas es diferente a la cantidad de ecuaciones).

Por que para las matrices cuadradas hay que hacer a la diagonal todos "1" y a los elementos arriba y debajo de la diagonal llevarlos a 0 para llegar a la solución.

Pero en el caso de cuando tenes matrices de 3x4 o bien 4x3, la diagonal cual es...?

Ejemplo (lo acabo de inventar, tire cualquiera).
Es un sistema de 3 incognitas y 5 ecuaciones, ejemplo.

\[\begin{bmatrix} 1&2 &-1 \\ 3& 2 & 1\\ 1 & -1 &1 \\ -1& 2 &2 \\ -1& -1 & 1\end{bmatrix}\]

Saludos.
gracias.

pd: Si no se entiende, avisen.

si tenes un sistema como el que inventaste el numero de ecuaciones se mayor al numero de incognitas, 3 en tu invento , entonces basta que tomes de esas 5 ecuaciones solo 3 los valores de la variables que obtengas deben verificar las otras dos , ¿se entiende?

(28-09-2014 21:47)Saga escribió:  si tenes un sistema como el que inventaste el numero de ecuaciones se mayor al numero de incognitas, 3 en tu invento , entonces basta que tomes de esas 5 ecuaciones solo 3 los valores de la variables que obtengas deben verificar las otras dos , ¿se entiende?

Y en el caso de que tenga 3 ecuaciones con 4 incognitas?

Ahi como se hace?
Seria:

(incognitas: x,y,z,w)

x + 2y + 3z - 2w = 0
-x+ 2y + z + 2w = 0
2x + 3y - z -w = 0

\[\begin{bmatrix} 1& 2 & 3 & -2 \\ -1& 2 & 1 & 2\\ 2& 3& -1 & -1 \end{bmatrix}\]

Gracias por la respuesta Saga!

en ese caso tendras infintas soluciones , tenes que usar

Variables libres = numero de incognitas- el rango de la matriz asocida a ese sistema

las variables libres indicaran las "soluciones" de tu sistema, en el ejercicio que pusiste si no me equivoco , el rango de la matriz es 3 entoces si aplicas lo que te dije anteriormente

Variables libres =4-3=1

lo que quiere decir que en tu solucion debera aparacer una variable independiente, pensa el caso cuando tenias un sistema del tipo

x+y+z=1

2x-y-3z=5

el rango de la matriz =2 entonces

Variables libres =3-2=1

la interpretacion geometrica de ese resultado era una recta , en R4 no podemos hacer una interpretacion geometrica, pero como te dije el razonamiento es analogo.

Tambien podes usar el teorema de rouche frobenius, y trabajar con los rangos de las matrices y determinar la compatibilidad o incompatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales

No entendí muy bien en realidad. Por que más allá de eso tambien lo necesito para saber por ej si vectores son LI.

Si tengo 4 vectores: (1,2,3) - (2,1, 4) - (0, 2, 3) - (2, 2, -1)
Para saber si son LI tengo que ponerlos en forma de matriz y triangular. Si ninguno se anula es que son LI, en cambio si alguno se anula (inf. soluciones) es LD.

Seria:

\[\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\ 2&1 &4 \\ 0& 2 &3 \\ 2& 2 &-1 \end{bmatrix}\]

Y acà tendría que triangular por ejemplo. Mi pregunta es, cual es la diagonal o bien cuales son los elementos que tengo que hacer 0..

en R3 si tenes 4 vectores , es obvio que como minimo uno de ellos es combinacion lineal de los otros , asi que sin hacer ninguna cuenta ya podes decir que son ld, ahora para saber cuales son los LI, efectivamente tenes que ponerlos como matriz triangular o pivotear y los que no se anulen seran LI

A lo que me referia era al teorema de rouche frobbenius

SCD rg(A)=rg(A')=n

SCI rg(A)=rg(A')<n

SI rg(A)<rg(A')

rg(A)=rango de la matriz A

rg(A')=rango de la matriz ampliada

n=numero de incognitas

No lo viste en la cursada ?

Respecto a tu pregunta , si vas a triangular de la manera habitual , la diagonal principal es el 1,1,3

(29-09-2014 09:35)Saga escribió:  en R3 si tenes 4 vectores , es obvio que como minimo uno de ellos es combinacion lineal de los otros , asi que sin hacer ninguna cuenta ya podes decir que son ld, ahora para saber cuales son los LI, efectivamente tenes que ponerlos como matriz triangular o pivotear y los que no se anulen seran LI

A lo que me referia era al teorema de rouche frobbenius

SCD rg(A)=rg(A')=n

SCI rg(A)=rg(A')<n

SI rg(A)<rg(A')

rg(A)=rango de la matriz A

rg(A')=rango de la matriz ampliada

n=numero de incognitas

No lo viste en la cursada ?

Respecto a tu pregunta , si vas a triangular de la manera habitual , la diagonal principal es el 1,1,3

Listo, ahi lo entendi, gracias!