Gracias Saga, me ayuda un montón tu respuesta. Te debo una
Veo que a todos los que le dio \[\frac{16}{5}\] fueron felices y aprobaron, así que si me gustaría repasar mi solución, que da \[\frac{16}{3}\] para ver si tiene algún bicho. La hago bastante explícita así no se pierde en tiempo en cálculos en papel.
\[\bar{f}=(2x,y,z-x)\]
\[y=2x^2\]
\[0 \leq z \leq 2-y\]
\[\Phi (x,z)=(x,2x^2,z)\] (primer cambio, la parametrización de la proyección)
\[\Phi'_x (x,z)=(1,4x,0)\] (segundo cambio, la 3ra componente es \[0\] en vez de \[-1\])
\[\Phi'_z (x,z)=(0,0,1)\]
\[\Phi'_x (x,z) \times \Phi'_z (x,z)=(4x,1,0)\] (tercer cambio, la 2da componente es \[1\] en vez de \[-1\])
\[0 \leq z \leq 2-2x^2\]
\[-1 \leq x \leq 1\]
\[ \int_D\int \bar{f}[\Phi (x,z)].(\Phi'_x (x,z) \times \Phi'_z (x,z))dzdx=\]
\[ \int_D\int \bar{f}(x, 2x^2, z).(4x, 1, 0) dzdx=\]
\[ \int_D\int (2x, 2x^2, z-x) (4x, 1, 0) dzdx=\]
\[ \int_D\int 2x 4x + 2x^2 1 + (z-x) 0 dzdx=\]
\[ \int^{1}_{-1} \int^{2-2x^2}_{0} 10x^2dzdx=\] (cuarto cambio, el producto escalar me da \[10x^2\] en vez de \[6x^2\]
Y ya después es calcular la integral:
\[ \int^{1}_{-1} \int^{2-2x^2}_{0} 10x^2dzdx= \frac{16}{3}\]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int...1+to+x%3D1
¿Les parece correcto? Gracias!
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