17-02-2012, 21:40
La resolucion se las debo, tengo q presentarme el viernes q viene mas estudiado, me queda solo este final, asique no tengo excusas.
- Off-topic:
- Maty , sentey unifique sus repuestas y lo que yo aporte en el primer mensaje espero no les moleste
T2) sale por definición, nos piden simplemente que analizemos la existencia de la derivada primera entonces
\[f'_x(0,0)=\lim_{x->0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{x->0}\frac{\frac{x^2\sin(2x)}{x^2}}{x}=\lim_{x->0} \frac{\sin 2.x}{x}=2\]
conclusion: la derivada existe y se aproxima a 2
E1) La región esta definida por
\[D=\left\{x-y^2\geq0 \quad 2-x-y>0\quad y-x+2\geq 0\right\}\]
en funcion de y, y al ser el recindo D simétrico respecto del origen, el área a calcular esta definida por
\[A=2\int_{0}^{1}\int_{2-y}^{y^2}dxdy=\frac{7}{3}\]
En función de x, adjunto la resolucion propuesta por sentey
Ese es el dominio. Y el area se puede hallar simplemente dividiendo el area de 0 a 1 y de 1 a 2...con integral simple.
Mañana rindo, ojala me tomen algo asi
Por simetria, el area es igual por encima y por debajo del eje x, asi que hallo el area y lo multiplico por 2
\[A=\int_{0}^{1}\sqrt{x}.dx+\int_{1}^{2}(-x+2)dx\]
\[\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\]
\[\frac{7}{6}\]
Multiplico por 2
\[\frac{14}{6}\]
Simplificado
\[\frac{7}{3}\]
E2) sale aplicando el teorema de la composicion de funciones, defino
\[g:R^2\rightarrow R^2 /g(x,y)=(x^2,y-x)\]
de los datos del ejercicio se obtiene
\[\nabla z(2,2)=(-1,2)\] finalmente aplicamos la definicion
\[\nabla z(2,2)=\nabla f(g(2,2))\nabla g(2,2)\]
entonces remplazando
\[(-1,2)=\nabla f(4,0)\begin{pmatrix} 2x&0\\-1&1\end{pmatrix}_{(2,2)}=(a,b)\begin{pmatrix} 4&0\\-1&1\end{pmatrix}\]
operando con el producto habitual de matrices, se obtiene un sistema de 2x2 que no creo les presente inconvenientes, una vez hallados a y b solo es aplicar las definiciones de lo que nos piden , se los dejo de tarea, si alguno lo necesita, lo hago/hacemos
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E3) aporte de matyary
Ejercicio 3.
\[\bar{f}=(2y,x)\]
\[y'-y=1 \to y=ke^x-1 \to k=1 \to y=e^x-1\]
\[\alpha (x)=(x,e^x-1)\]
\[\alpha '(x)=(1,e^x)\]
\[\int^{1}_{0} f[\alpha (x)].\alpha '(x)dx=\int^{1}_{0} (2e^x-2,x).(1,e^x)dx=\]
\[\int^{1}_{0} (2e^x-2+xe^x)dx=[2e^x-2x+e^x(x-1)]^{1}_{0}=2e-2-2+1=2e-3\]
E4) aporte de matyary
Ejercicio 4.
\[\bar{f}=(2x,y,z-x)\]
\[y=2x^2\]
\[0 \leq z \leq 2-y\]
\[\Phi (x,z)=(x,2x^2,z-x)\]
\[\Phi'_x (x,z)=(1,4x,-1)\]
\[\Phi'_y (x,z)=(0,0,1)\]
\[\Phi'_x (x,z) \times \Phi'_z (x,z)=(4x,-1,0)\]
\[0 \leq z \leq 2-2x^2\]
\[-1 \leq x \leq 1\]
\[ \int_D\int \bar{f}[\Phi (x,z)].(\Phi'_x (x,z) \times \Phi'_z (x,z))dzdx=\]
\[ \int^{1}_{-1} \int^{2-2x^2}_{0} 6x^2dzdx= \frac{16}{5}\]
Espero le sea de utilidad a quienes no aprobaron y les pueda servir de guía para resolver otros finales/parciales
saludos
JAJAJA
