Les adjunto mi resolucion... revisen las cuentas por las dudas porque toy medio enfermo jeje
T1) lo pienso ...creo que lo saque .. por definicion de cambio de variable
\[\iint_{D_{xy}} f(x,y)dxdy=\iint_{D_{uv}}f(g(u,v))|D_g| dudv\]
por hipotesis
\[\iint_{D_{xy}} f(x,y)dxdy=\iint_{D_{uv}}f(g(u,v))|D_g| dudv=35\]
g esta definida por
\[g(u,v)=(2u+v,u-3v)\to |D_g|=7\]
finalmente
\[7\iint_{D_{uv}}f(g(u,v)) dudv=35\to \iint_{D_{uv}}f(g(u,v)) dudv=5\]
T2) El conjunto de nivel tres transforma la funcion en
\[x^2y+y^2-y=0\to y[(x^2-1)+y]=0\]
entonces la region de integracion esta definida por
\[y=0\quad y=1-x^2\]
por simetria limito al primer cuadrante y multiplico por dos al area total
\[A=2\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x^2}dydx=\frac{4}{3}\]
wolfram
E1) si la funcion admite funcion potencial entonces su matriz jacobiana es simetrica ... haciendo las cuentas
\[1+g'(x)=g(x)\]
cambio
\[y=g(x)\]
la ED a resolver es
\[y'=y-1\]
integrando o por variacion de parametros se obtiene
\[g(x)=Me^x+1\]
para obtener el valor de M utilizamos el hecho que
\[f(0,0)=(1+0,0+g(0))=(1,3)\to g(0)=3\]
reemplazando la funcion g pedida es
\[g(x)=2e^x+1\]
para hallar el potencial se cumple que
\[\nabla \varphi =f\to \dfrac{d\varphi}{dx}=1+2e^xy+y\quad \dfrac{d\varphi}{dy}=x+2e^x+1\]
integrando , la funcion potencial pedida es
\[\varphi(x,y)=x+2e^xy+yx+y+K\]
luego la circulacion es independiente de la trayectoria, por ende
\[\omega=\varphi(B)-\varphi(A)=\varphi(0,3)-\varphi(0,1)=6\]
E2) de las restricciones impuestas se puede observar que
\[y^2\leq z\leq 4-x\]
por transitividad
\[y^2\leq 4-x\to 0\leq x\leq4-y^2\]
nuevamente por transitividad
\[0\leq4-y^2\to 0\leq y\leq 2\]
finalmente el volumen esta definido por la integral
\[V=\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-y^2}\int_{y^2}^{4-x} dzdxdy=\frac{128}{15}\]
wolfram
E3) parametrizo la superficie sobre la cual quieren que calcule el flujo y defino la funcion vectorial g
\[g:R^2\to R^3/g(x,y)=\left ( x,y,2-\frac{1}{2}x^2 \right )\]
la normal esta definida por el producto vectorial de los elementales
\[n=g'_x\times g'_y=(x,0,1)\]
orientada positivamente , luego el flujo esta definido por
\[\varphi=\iint f(g(x,y)) n dS=\iint x^2+4 dxdy\]
para los limites de integracion , utilizo las restricciones impuestas por el problema
\[0\leq y\leq x^2\]
en el prime octante implica
\[z\geq 0\to 2-\frac{1}{2}x^2\geq 0\to 0\leq x\leq 2\]
luego
\[\varphi=\int_{0}^{2}\int_{0}^{x^2}x^2+4 dydx=\frac{256}{15}\]
wolfram
E4) defino
\[F(x,y,z)=-3x^2-y^3+3y^2-5+z\]
el gradiente es
\[\nabla F(x,y,z)=(-6x,-3y^2+6y,1)\]
el plano tangente a F es paralelo al xy entonces sus normales son proporcionales ... por algebra
\[\nabla F(x,y,z)=(-6x,-3y^2+6y,1)=\alpha(0,0,1)\]
de donde se verifica que
\[-6x=0\to x=0\quad -3y(y-2)=0\to y=0\quad y=2\]
los puntos son
\[A=(0,0) \quad B=(0,2)\]
haciendo las cuentas respectivas el hesiano de f es
\[H(x,y)=\begin{pmatrix}6 & 0\\ 0 & 6y-6\end{pmatrix}\]
luego
\[H(0,0)=\begin{pmatrix}6 & 0\\ 0 &-6\end{pmatrix}\]
punto ensilladura
\[H(0,2)=\begin{pmatrix}6 & 0\\ 0 &6\end{pmatrix}\]
minimo local
finalmente los puntos pedidos son
\[P_{ens}=(0,0,5)\quad Q_{min}=(0,2,1)\]
avisen si mande fruta en algun lado
jejeje .gif "=)")