Bueno gente, aca va el 2° Parcial de Analisis Matematico II del Profesor Santamartina recien traído de la facultad. A medida que lo vaya corrigiendo voy pasando las respuestas.

T1) tenes la ecuación

\[y''-y'=2-2x\]

cuya solucion sera

\[y=y_h+y_p\]

para hallar \[y_h\] planteamos el polinomio caracteristico asociado

\[r^2-r=0\to r=0\quad r=1\]

entonces

\[y_h=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\to \boxed{y_h=A+Be^x}\]

para la solucion particular, propongo

\[y_p=x(b+ax)\]

derivando dos veces y reemplazando en la ecuacion diferencial obtenes

\[2a-b-2ax=2-2x\to 2a-b=2\quad -2a=-2\]

resolviendo \[a=1\quad b=0\]

finalmente

\[y=A+Be^x+x^2\]

para hallar A y B solo aplica las condiciones iniciales , haciendo todas las cuentas obtenes que

\[y=x^2\]

la integral pedida es cartesianas y polares es

\[A=\int_{0}^{1}\int_{x}^{x^2}dydx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}} rdrd\theta=\frac{1}{6}\]

---

P1) usando la defincion correspondiente obtenes que

\[\nabla \varphi(x,y,z)=f(x,y,z)=(y,x,2z)\]

una parametrizacion adecuada

\[g:R^2\to R^3/ g(x,z)=(x,x^2,z)\to n=(2x,-1,0)\]

hechas las cuentas

\[\iint_R (2x^2-x)dzdx\]

evaluando las superficies en la parametrizacion elegida, la integral a resolver es

\[\int_{0}^{1}\int_{0}^{2-x-x^2}(2x^2-x)dzdx=\frac{1}{60}\]

---

P2) sale por el teorema de green

\[f(x,y,z)=(g(x)-y,y+x)\to Q'_x-P'_y=2\]

luego

\[\omega=\int_C fds=\iint_R Q'_x-P'_y dA=\iint_R 2 dydx\]

los limites, en cartesianas y polares son

\[\int_{0}^{1}\int_{x}^{\sqrt{2x-x^2}}2dydx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{2\sin\theta}2rdrd\theta=\frac{1}{2}(\pi-2)\approx 0,5707\]

---

P3) conviene trabajarla en cartesianas, calculamos la integral por una doble

\[\iint_R\left ( \int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}z dz \right )dA=\frac{1}{2}\iint_R (4-x^2 )dxdy\]

con

\[R=\left \{ x+y\geq 2 \quad x+2y\leq 6\right \}\]

finalmente

\[\frac{1}{2}\iint_R (4-x^2 )dxdy=\frac{1}{2}{\color{Red} \int_{0}^{2} }\int_{2-x}^{3-\frac{1}{2}x}(4-x^2)dydx={\color{Red} \frac{22}{3}}\]

---

Los otros que faltan bank que los pienso

Editado: error en uno de los limites de integración

Alguien me puede decir como queda el recinto del ejercicio P2
Porque los limites de integracion no me coinciden capaz estoy haciendo algo mal yo


Gracias

y depende donde tomaste centro del cinlindro, si completaste cuadrados los limites van a cambiar, si no completaste nada, seran lo que puse yo, no se porque el latex anda muy pero muy mal ultimamente :\

Si, complete cuadrados..

Como te quedo a vos el dibujo del recinto?