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2 Parcial AM2 (30/11/12)- Prof. Santamartina (resuelto)
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Taylor Sin conexión
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Mensaje: #1
2 Parcial AM2 (30/11/12)- Prof. Santamartina (resuelto) Parciales Análisis Matemático II
Bueno gente, aca va el 2° Parcial de Analisis Matematico II del Profesor Santamartina recien traído de la facultad. A medida que lo vaya corrigiendo voy pasando las respuestas.

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(Este mensaje fue modificado por última vez en: 01-12-2012 18:56 por Saga.)
30-11-2012 13:50
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franciscodiez (01-12-2012), mardo182 (15-02-2014), Agoss (15-02-2014), tatantatan (14-08-2014)
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Mensaje: #2
RE: 2 Parcial AM2 (30/11/12)- Prof. Santamartina
T1) tenes la ecuación

\[y''-y'=2-2x\]

cuya solucion sera

\[y=y_h+y_p\]

para hallar \[y_h\] planteamos el polinomio caracteristico asociado

\[r^2-r=0\to r=0\quad r=1\]

entonces

\[y_h=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\to \boxed{y_h=A+Be^x}\]

para la solucion particular, propongo

\[y_p=x(b+ax)\]

derivando dos veces y reemplazando en la ecuacion diferencial obtenes

\[2a-b-2ax=2-2x\to 2a-b=2\quad -2a=-2\]

resolviendo \[a=1\quad b=0\]

finalmente

\[y=A+Be^x+x^2\]

para hallar A y B solo aplica las condiciones iniciales , haciendo todas las cuentas obtenes que

\[y=x^2\]

la integral pedida es cartesianas y polares es

\[A=\int_{0}^{1}\int_{x}^{x^2}dydx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}} rdrd\theta=\frac{1}{6}\]

P1) usando la defincion correspondiente obtenes que

\[\nabla \varphi(x,y,z)=f(x,y,z)=(y,x,2z)\]

una parametrizacion adecuada

\[g:R^2\to R^3/ g(x,z)=(x,x^2,z)\to n=(2x,-1,0)\]

hechas las cuentas

\[\iint_R (2x^2-x)dzdx\]

evaluando las superficies en la parametrizacion elegida, la integral a resolver es

\[\int_{0}^{1}\int_{0}^{2-x-x^2}(2x^2-x)dzdx=\frac{1}{60}\]

P2) sale por el teorema de green

\[f(x,y,z)=(g(x)-y,y+x)\to Q'_x-P'_y=2\]

luego

\[\omega=\int_C fds=\iint_R Q'_x-P'_y dA=\iint_R 2 dydx\]

los limites, en cartesianas y polares son

\[\int_{0}^{1}\int_{x}^{\sqrt{2x-x^2}}2dydx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{2\sin\theta}2rdrd\theta=\frac{1}{2}(\pi-2)\approx 0,5707\]

P3) conviene trabajarla en cartesianas, calculamos la integral por una doble

\[\iint_R\left ( \int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}z dz \right )dA=\frac{1}{2}\iint_R (4-x^2 )dxdy\]

con

\[R=\left \{ x+y\geq 2 \quad x+2y\leq 6\right \}\]

finalmente

\[\frac{1}{2}\iint_R (4-x^2 )dxdy=\frac{1}{2}{\color{Red} \int_{0}^{2} }\int_{2-x}^{3-\frac{1}{2}x}(4-x^2)dydx={\color{Red} \frac{22}{3}}\]

Los otros que faltan bank que los pienso ;)

Editado: error en uno de los limites de integración

(Este mensaje fue modificado por última vez en: 01-12-2012 18:34 por Saga.)
01-12-2012 14:32
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Taylor (01-12-2012), franciscodiez (01-12-2012)
Nacho14 Sin conexión
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Mensaje: #3
RE: 2 Parcial AM2 (30/11/12)- Prof. Santamartina (resuelto)
Alguien me puede decir como queda el recinto del ejercicio P2
Porque los limites de integracion no me coinciden capaz estoy haciendo algo mal yo


Gracias
(Este mensaje fue modificado por última vez en: 15-02-2014 12:41 por Nacho14.)
15-02-2014 12:41
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Saga Sin conexión
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Mensaje: #4
RE: 2 Parcial AM2 (30/11/12)- Prof. Santamartina (resuelto)
y depende donde tomaste centro del cinlindro, si completaste cuadrados los limites van a cambiar, si no completaste nada, seran lo que puse yo, no se porque el latex anda muy pero muy mal ultimamente :\

15-02-2014 12:56
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Nacho14 Sin conexión
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Mensaje: #5
RE: 2 Parcial AM2 (30/11/12)- Prof. Santamartina (resuelto)
Si, complete cuadrados..

Como te quedo a vos el dibujo del recinto?
15-02-2014 18:13
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