Les dejo el parcial que Amed tomo el dia de hoy (si es que Feer no subio la copia clandestina que me hizo ).

PD: Si alguien tiene para aportar alguno de los integradores (mezcladitos) de fechas pasadas le voy a estar mas que agradecido (vi que hace poco subieron uno).

Si alguno necesita algun ejercicio me dice y lo resuelvo.. Si no con tiempo después resuelvo :b

Todos, en especial los que van del 1 al 4 (?)

De movida te dejo el 4b...
No le des bola al número que dice, tomo el mismo ejercicio con el que práctique los de ese tipo y bueno subo ese directamente

   

3b) parametrizo como

\[g:R^2\to R^2/ g(x,z)=(x,x^2,z)\]

de los vectores elementales haciendo el producto vectorial se obtiene la normal \[n=(2x,-1,0)\] luego

\[\iint f(g(x,z))n=\iint (x^2,-x,z)(2x,-1,0)dxdz=\iint 2x^3+xdzdx\]

los limites en funcion de la parametrizacion elegida son

\[x+y+z\leq 2\rightarrow x+x^2+z\leq 2 \rightarrow \boxed{0\leq z \leq 2-x-x^2}\]

de donde \[\boxed{0\leq x \leq 1}\]

finalmente

\[\varphi=\int_{0}^{1}\int_{0}^{-x^2-x+2}2x^3+xdxdz=\frac{41}{60}\]

Te dejo el 1A

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Te dejo el 2 sin mucho lujo de detalle...

3a) parametrizo como

\[g:R^2\to R^2/g(x,y)=(x,y,8-x^2)\]

de los vectores elementarles haciendo el producto vectorial se obtiene la normal \[n=(2x,0,1)\]

haciendo

\[\iint rot(g(x,y))ndxdy=\iint 16dxdy\]

los limites van en funcion de la parametrizacion

\[x^2+y^2=8-x^2\rightarrow x^2+y^2=4\]

tomando polares

\[\varphi=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} 16rdrd\theta=64\pi\]

El 1b sin justificar nada:

fir hay algo que no entiendo en el 1a) porque estas acotando todo a la parte superior ¿que restriccion estas usando?

La escuche/entendi que era z>= 0
Ahora me hiciste dudar.. pero me parece que era con z>=0, si no lo hice mal :B

A no ser que en el curso del parcial ella les haya dicho que tomen z mayor o igual a 0, te falto considerar la media esfera de abajo, por las condiciones del enunciado, tu dibujo esta bien, solo que te falto la otra mitad, ademas si es como digo, te falto considerar tambien el signo de k

Ne, era así con la parte de arriba nomas.-

Suponiendo que no se dijo nada de tomar solo la parte de arriba en el 1a)

\[\delta(x,y,z)=k|z|\]

por definicion \[m=\iiint_V \delta (x,y,z)dxdydz\]

en polares

\[g:R^3\to R^3/g(r,\theta,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\]

no queda

\[m=\iiint_V k|z|rdzdrd\theta\]

son 3 integrales a evaluar la parte que considero fir y la parte de abajo de la media esfera que no lo hizo

\[m_1=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}\int_{-\sqrt{16-r^2}}^{0}-krzdzdrd\theta=64k\pi\]

\[m_2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{12}}\int_{0}^{\frac{r\sqrt{3}}{3}}krzdzdrd\theta=12k\pi\]

\[m_3=\int_{0}^{2\pi}\int_{\sqrt{12}}^{4}\int _{0}^{\sqrt{16-r^2}}krzdzdrd\theta=4k\pi\]

la masa total la suma de los 3 da \[m=80k\pi\]

En esfericas

\[g:R^3\to R^3/g(r,\omega,\theta)=(r\cos\omega\cos\theta,r\cos\omega\sin\theta,r\sin\omega,)\]

\[\omega\in\left [ \frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ]\quad \theta\in \left [ 0,2\pi \right ]\]

hechos los calculos nos queda

\[\iiint kr|\sin\omega|r^2\cos\omega drd\omega d\theta\]

son dos integrales a evaluar, analizando donde el seno es positivo y se produce la interseccion con omega

\[m_1=\int_{0}^{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\int_{0}^{4}-r^3\sin\omega\cos\omega drd\omega d\theta=64k\pi\]

\[m_2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\int_{0}^{4}r^3\sin\omega\cos\omega drd\omega d\theta=16k\pi\]

La masa total \[m=80k\pi\]

Como que tiro a matar con este

No creo, para mi se olvido del z>=0
Osea, es re desubicado ese ejercicio en el medio del parcial.. un item para hacer polares y cilindricas así no creo que ponga.

y... yo lo resolvi como esta ahi en el parcial, o sea con los datos que te dan, de ahi en mas si les dijo que tomes z mayor o igual a 0 no lo sé, eso lo sabes vos , jejej