Gente subo el final de ayer, lamentablemente no aprobe por muy poco y la verdad que era muy aprobable este final, muchisima bronca pero bueno, lo dejo a ver si me dan una mano para resolverlo y sacarme un par de dudas
Saludos!

   


te subi el final directamente al foro para que sea visible para todos

Edito: perdon, ahora si veo la imagen!
saludos

Vamos por el primero

1) utilizamos la ecuacion reducida del haz haciendo \[\lambda=\frac{\beta}{\alpha}\] hechas las cuentas tenes el plano

\[x+\lambda y-\lambda z+\lambda-4=0\quad n=(\1,\lambda,-\lambda)\]

primero hay que buscar un plano paralelo a este utilizando la defincion de vectores paralelos

\[n=\alpha n'\to (\1,\lambda,-\lambda)=\alpha(2,2,-2)\]

el sistema asociado es SCD cuando \[\alpha=\frac{1}{2}\quad \lambda=1\]

luego el plano del haz pedido es

\[\boxed{\pi: x+y-z-3=0}\]

analizando las posiciones relativas de la recta dada con este plano, se concluye que la recta no va paralela ni perpendicular al mismo, por ende la corta al plano pi en un punto A, el punto de corte

es la interseccion de la recta con el plano pi ... solo hay que hacer

\[\lambda+2\lambda-3=0\to \lambda=1\to \boxed{A=(1,2,0)}\]

para proyectar la recta de manera ortogonal sobre pi, necesito otro punto B, proyecto el punto de L tomando una recta auxiliar r, cuyo director sera la normal del plano , y es de la forma

\[r(t)=(t,t,-t)\]

proyecto y obtengo \[t+t-t=3\to t=3\to\boxed {B=(3,3,-3)}\]

finalmente la recta proyeccion sobre el plano pi escrita de forma vectorial es

\[\boxed{g(\gamma)=(1+2\gamma,2+\gamma,-3\gamma)\quad \gamma \in R}\]

para verificar, observa que el punto de la misma verifica el plano pi, y su director es perpendicular a la normal de pi

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ahora salgo si nadie mas contesta sigo con los otros

Muchas gracias saga!

El segundo, la parte A, no llegue a nada.. puse que no existia A :/

Si alguien lo resuelve me agradaria

Ejercicio 2a:
Ecuacion: \[Ax^2+(y-1)^2+A^2 z^2 = 16\]

Interseccion con el plano: y = 1 te queda: \[Ax^2+A^2 z^2 = 16\]
Pasas el 16 como divisor y acomodamos un poco para que quede lo mas parecido a la ecuacion de una elipse: \[(x^2)/(16/A)+(z^2)/(16/A^2) = 1\]

Que el semieje menor sea igual a 2 quiere decir que b = 2
Formula de una elipse: \[(x^2)/(a^2)+(z^2)/(b^2) = 1\]

Por lo tanto si establecemos una comparación entre la formula de una elipse y la ecuacion a la que llegamos podemos decir que:
\[b^2 = 16/(A^2)\]

Como b = 2 nos queda: \[2^2 = 16/(A^2)\]
Despejando nos queda: \[A^2 = 4\]

Las respuestas posibles son A = 2 v A = -2 (La ultima se descarta porque reemplazando con A = -2 no te queda la ecuacion de una elipse)

Conclusion llege a que A = 2, espero no haberme equivocado para no confundir a nadie jajaja.

Buenas,

Respondo lo que hice yo aproximadamente. Aprobé con 5 (no se como). El final me pareció más "rebuscado" que los que venía practicando y que todos los de la librería. Como siempre, fue distinto a todos los demás pero pensandolo un poco puse lo que me pareció.

2B) Era reemplazar A y parametrizar la hipérbola que quedaba

3
A) Para que el núcleo sea de dimensión 1, la imagen tiene que ser de dimensión 3, para cumplir con el teorema de las dimensiones (ya que P2 es de dimensión 3). Para ver esto, como saben, la matriz asociada; más específicamente su rango, coincide con la dimensión de la imagen. Por lo tanto, tengo que forzar que la matriz sea de dimensión 2.
Esto lo logro buscando el determinante, despejo k y me da dos valores que cumplen. Creo que era -1 y 0. 0 anulaba dos filas, por lo que la dimensión de la imagen quedaría en 1 => no sirve. Me quedé con el otro valor

B) Para esta parte reemplacé k y puse un vector genérico (a,b,c) al que multipliqué por la matriz asociada. Eso iba a ser igual a (-1,-1,-2) pero en base B (ya que la matriz devuelve en base B), por lo que primero pasé el vector (-1,-1,-2) a base B y eso fue lo que lo igualé. Una vez hecho esto, despejé y obtuve los valores que cumplian con lo pedido. Si mal no recuerdo, me daba {X^2,0,1} que cumple.

4
Ni idea... empecé a despejar, aplicar el módulo, me quedaron varias condiciones y (X+1)^2 + otro termino entre 1 y <=9... en fin, todo terminó en dibujar cualquier cosa que me parecía, es decir: dos ejes. El X es la parte real, el Y la imaginaria. En Y marqué 1 y de ahí para abajo cumpliría. El argumento lo considere entre 3/4 y 5/4 de pi y quedó un pedacito de un círculo en el segundo y tercer cuadrante.

5
A)Tampoco se si estaba bien, no me quedaba lindo, pero empecé a analizar por partes. Verifiqué que A es diagonalizable porque m son los autovalores de la diagonal principal (ya que es triangular) y generaría un autoespacio de dimensión dos que coincide con el autovalor de multiplicidad 2. Digo "generaría" porque no se como demostrar eso; simplemente lo escribí a ver si pasaba, y me pareció que era así porque cualquier matriz que ponia en la calculadora con estas caracteristicas me la diagonalizaba OK y me daba los autovalores. Luego A(trans) también sería diagonalizable. Luego la multiplicación de los dos me daba una matriz diagonal, obviamente "diagonalizable" y la suma de sus autovalores sería positivo puesto que me quedaba m al cuadrado en ambos; siendo los autovalores los coeficientes de la diagonal principal

B)Este buscabas las bases de S, me quedaba de dimensión 1, por lo tanto el complemento de S (su base) es de dimensión 3 (ya que estamos en R4). Lo mismo busco la base para W, me queda de dimensión 2, entonces la suma no iba a ser directa puesto que 3 + 2 = 5 (y no 4), por lo tanto la dimensión de la intersección entre ambas no es nula (y esto es lo que define a la suma directa).

Bueno, esto es lo que me acuerdo que hice, no se qué estará bien y que no; es simplemente mi pequeño aporte para alguien que quiera dar el martes que viene. Yo di 4 veces mal en el verano, tuve que recursar (anual -> cuatrimestral) y la metí ahora. No se desanimen, siguen intentando que a la larga la van a meter; cuando tengan la casualidad/suerte de que les toque algo y lo puedan hacer (como me pasó a mi). Y si hay que recursar... no pasa nada, si realmente estudiaron pasan la cursada de taquito, pueden faltar casi todas las clases y un cuatrimestre se pasa volando. Se los digo yo que en el verano me quería matar por tener que cursar de nuevo, pero después ni me di cuenta y ya estaba ayer rindiendo finales de nuevo como "hasta hace unos días atrás" en febrero. Ah, y si la recursan, capaz que la promocionan también! A no deprimirse!

Saludos!

2)b) es un hiperboloide de una hoja sino me equivoco y el grafico es como el simbolo de linterna verde y el eje lo da la X siempre el que esta negativo te quedaria algo asi -x^2/8+(y-1)/16+z^2/4=1 y despues el de parametrizar es simple te queda una hiperbola pones la funcion con la secante en el positivo y la tangente en el negativo

(31-07-2013 16:29)aguse escribió:  2)b) es un hiperboloide de una hoja sino me equivoco y el grafico es como el simbolo de linterna verde y el eje lo da la X siempre el que esta negativo te quedaria algo asi -x^2/8+(y-1)/16+z^2/4=1 y despues el de parametrizar es simple te queda una hiperbola pones la funcion con la secante en el positivo y la tangente en el negativo

Es verdad, era una hiperboloide de una hoja paralela al eje de distinto signo (en este caso, X)

5)a te qeuda una matriz con m^2 m^2 (abajo) m^2 2m^2 cuando haces eñ determinante te qeuda una cuadratica analizas que el discriminante(lo de adentro de la raiz) nunca va a dar 0 entonces las raizes son distintas por ende es diagonalizable porque sus autovalores son distintos quizas te confundiste en la multiplicacion porque no te queda diagonal

Faa... lo del discriminante era muy loco, que genio que se te ocurra eso Capaz que estaba mal entonces... no se la verdad!

un final bastante jodido igual eh ajajajja felicitaciones!

(31-07-2013 15:30)Virus escribió:  Ejercicio 2a:
Ecuacion: \[Ax^2+(y-1)^2+A^2 z^2 = 16\]

Interseccion con el plano: y = 1 te queda: \[Ax^2+A^2 z^2 = 16\]
Pasas el 16 como divisor y acomodamos un poco para que quede lo mas parecido a la ecuacion de una elipse: \[(x^2)/(16/A)+(z^2)/(16/A^2) = 1\]

Que el semieje menor sea igual a 2 quiere decir que b = 2
Formula de una elipse: \[(x^2)/(a^2)+(z^2)/(b^2) = 1\]

Por lo tanto si establecemos una comparación entre la formula de una elipse y la ecuacion a la que llegamos podemos decir que:
\[b^2 = 16/(A^2)\]

Como b = 2 nos queda: \[2^2 = 16/(A^2)\]
Despejando nos queda: \[A^2 = 4\]

Las respuestas posibles son A = 2 v A = -2 (La ultima se descarta porque reemplazando con A = -2 no te queda la ecuacion de una elipse)

Conclusion llege a que A = 2, espero no haberme equivocado para no confundir a nadie jajaja.

2a) Esta bien , solo que si lees bien el enunciado te piden los valores , no el valor, donde A sea una elipse entonces tenes que plantear que

\[\frac{16}{A^2}\leq 4\Leftrightarrow \frac{16-4A^2}{A^2}\leq 0\]

el denominador es siempre positivo y distinto de 0 para todo valor de A entonces la desigualdad se cumple cuando \[16-4A^2\leq 0\] finalmente el intervalo pedido es de la forma

\[\boxed{I=(0,2]}\]

b) con el valor de A=-2 y la intersección con el plano xy entoncez z=0 de donde la curva es de la forma \[C: -2x^2+(y-1)^2=16\]

si dividimos todo por 16 obtenemos

\[-\frac{x^2}{8}+\left ( \frac{y-1}{4} \right )^2=1\]

una de las infinitas parametrizaciones puede ser

\[\\\frac{x}{\sqrt{8}}= \sin h(\alpha)\\\\\\ \frac{y-1}{4}=\cos h(\alpha)\]

de donde la curva sera

\[\boxed{C: R\to R^2/ C(\alpha)=(\sqrt{8}\sin h(\alpha),4\cos h(\alpha)+1)}\]

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saga la mas jodida elegiste ajajajajja

El 4)

a)

\[1\leq |z+1-i|\leq 3\]

\[1\leq |x+yi+1-i| \leq 3\]

\[1\leq |x+1+(y-1)i| \leq 3\]

\[1\leq \sqrt{(x+1)^{2}+(y+1)^{2}} \leq 3\]

\[1\leq {(x+1)^{2}+(y+1)^{2} \leq 9\]

b)

\[\frac{3}{4}\pi \leq arg(z) \leq \frac{5}{4}\pi\]

\[\frac{3}{4}\pi \leq arg(x+yi) \leq \frac{5}{4}\pi\]

\[\frac{3}{4}\pi \leq arctan(\frac{y}{x}) \leq \frac{5}{4}\pi\]

\[-1 \leq \frac{y}{x} \leq 1\]

pasos intermedios magicos y se llega a

\[x > 0 \wedge -x\leq y\leq x\]
o
\[x < 0 \wedge x\leq y\leq -x\]



c)

\[Im(z)\leq 1\]

\[Im(x+yi)\leq 1\]

\[y\leq 1\]


El grafico se los dejo a ustedes