Hola gente, estoy trabado con un ejercicio de AMI, es el 28 a) TP2 - Límites:

\[lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \]

Dudas:

1) En la guía estoy viendo que dice infinito a secas para muchos ejercicios, y muchas veces se asume que el infinito sin signo es positivo, pero en realidad no, porque cuando es positivo pone un positivo delante del infinito. Entonces hay tres tipos de infinito: a secas, +inf y -inf... concluyendo además de que para que el límite exista en infinito a secas debe existir y ser el mismo para +inf y -inf, ¿es correcto?...

2) La respuesta al ejercicio es que el límite no existe, ya que el resultado marca que cuando x tiene a más infinito L=1 y cuando x tiene a menos infinito L=-1 (acá esta implícito lo que decía de la existencia del límite cuando x tiene a infinito a secas), pero no logro entender la resolución de la guia resuelta:



Lo que no entiendo es que recurso algebraico utiliza para armar el módulo de x en el numerador, la parte restante sí, que es de hecho a lo que llego dividiendo todo por x, y luego entra x a la raíz... pero no logro darme cuenta de donde aparece el valor absoluto de x...

Si alguien me pueda echar una mano se lo agradezco...

Saludos!

saca factor comun x2 y al resolver la raiz de x2 le da el modulo

Te agradezco la respuesta!, pero sigo sin captarlo

Lo hago paso a paso:

\[lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \]

1ero - Para salvar la indeterminación en estos casos tengo que dividir todo por la variable de mayor exponente, en este caso es \[x^1\] ya que el \[x^2\] con la raíz también queda \[ x^1\]

Al dividir numerador y denominador por x llego a la misma expresión porque x/x=1 en el denominador y en el numerador pasa a quedar la misma expresión inicial.

2do - Hago \[\ x = \sqrt{x^2}\] en el numerador:

\[\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2}}\]

3ero - Me queda todo bajo la misma raíz cuadrada:

\[\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}\]

4to - Hago distributiva del \[\sqrt{x^2}\] entre el numerador:

\[\sqrt{\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}}\]

5to - Simplifico y llego a la expresión del resuelto pero sin el módulo de x y sin el x en el denominador:

\[\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\]

Además de no llegar a lo mismo tampoco logro entender la aparición del módulo, ya que infinito, sea positivo o negativo, estaría al cuadrado, por lo cuál siempre sería positivo... ¿por qué el módulo entonces?...

El resultado correcto es el del resuelto, si sigo como hice yo llego a que me da 1 para +inf y -inf y es incorrecto, tiene que dar -1 para -inf...

De vuelta, si alguien puede aclararme el panorama se lo agradezco bastante porque estoy trabado mal!

Abrazo!

Tenés: \[\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\]

Mirando solo la raíz: \[\sqrt{x^2+1}\]

Sacando x al cuadrado como factor común dentro de la raíz, te queda: \[\sqrt{x^2*(1+\frac{1}{x^2})}\]


Por propiedad de la raíz, eso es igual a: \[\sqrt{x^2}*\sqrt{(1+\frac{1}{x^2})}\]


La raíz del cuadrado te queda módulo, metiendo todo en la expresión original:

\[\frac{|x|*\sqrt{(1+\frac{1}{x^2})}}{x}\]


Y ahí entonces si X es positivo, queda positivo sobre positivo, te queda la raiz positiva. Caso contrario, te queda positivo sobre negativo, raíz con menos adelante.

(18-10-2014 12:55)NIKO18 escribió:  Hola gente, estoy trabado con un ejercicio de AMI, es el 28 a) TP2 - Límites:

\[lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \]

Dudas:

1) En la guía estoy viendo que dice infinito a secas para muchos ejercicios, y muchas veces se asume que el infinito sin signo es positivo, pero en realidad no, porque cuando es positivo pone un positivo delante del infinito. Entonces hay tres tipos de infinito: a secas, +inf y -inf... concluyendo además de que para que el límite exista en infinito a secas debe existir y ser el mismo para +inf y -inf, ¿es correcto?...

depende del ejercicio .. considera por ejemplo

\[\lim_{x \to \infty }\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}\]

que me podes decir al respecto ? existe o no el limite buscado

Cita:2) La respuesta al ejercicio es que el límite no existe, ya que el resultado marca que cuando x tiene a más infinito L=1 y cuando x tiene a menos infinito L=-1 (acá esta implícito lo que decía de la existencia del límite cuando x tiene a infinito a secas), pero no logro entender la resolución de la guia resuelta:

las guias resueltas , usalas como eso , solo guias nada mas, siempre es bueno analizar por uno mismo el ejercicio antes de entrar a las trompadas con un ejercicio de limites, analiza el dominio de la funcion que te dan para encontrar el limite , eso te da la informacion necesaria para poner el infinito a secas o con sus signos correspondientes